a: Xét ΔBFC và ΔCEB có

BF=CE

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)

BC chung

Do đó: ΔBFC=ΔCEB

b: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC

nên AM là đường cao ứng với cạnh BC

Ta có: ΔBFC=ΔCEB

nên \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)

mà \(\widehat{CEB}=90^0\)

nên \(\widehat{BFC}=90^0\)

Xét ΔABC có 

AM là đường cao ứng với cạnh BC

BE là đường cao ứng với cạnh AC

CF là đường cao ứng với cạnh AB

Do đó: AM,BE,CF đồng quy

a) Xét tam giác BFC và CEB ta có: 

Góc FBC = góc ECB

BF = CE

BC cạnh chung 

=> tam giác BFC = tam giác CEB (c-g-c)

a) Xét ΔBFC và ΔCEB có:

BF=EC(gt)

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(tam giác ABC cân tại A)

BC chung

=> ΔBFC=ΔCEB(c.g.c)

b) Xét tam giác ABC cân tại A có

AM là đường trung tuyến 

=> AM là đường cao của tam giác ABC(1)

Ta có: ΔBFC=ΔCEB(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

=> CF là đường cao của tam giác ABC(2)

Từ (1),(2) và BE là đường cao của tam giác ABC

=> BE,,CF,AM đồng quy

a: Xét ΔBFC và ΔCEB có 

BF=CE

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)

BC chung

Do đó: ΔBFC=ΔCEB

b: Ta có: ΔBFC=ΔCEB

nên \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)

mà \(\widehat{CEB}=90^0\)

nên \(\widehat{BFC}=90^0\)

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC

nên AM là đường cao ứng với cạnh BC

Xét ΔBAC có

AM là đường cao ứng với cạnh BC

BE là đường cao ứng với cạnh AC

CF là đường cao ứng với cạnh AB

Do đó: AM,BE,CF đồng quy

Câu hỏi của bggvf - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại link bên trên nhé.

a/ 

Ta có

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (2 góc ở đáy của tg cân ABC) (1)

\(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^o\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có

AB=AC (cạnh bên của tg cân ABC)

BM=CN (gt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A

b/

Xét tg vuông BME và tg vuông CNF có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (2 góc ở đáy của tg cân AMN)

BM=CN (gt)

\(\Rightarrow\Delta BME=\Delta CNF\) (Hai tg vuông có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng = nhau thì bằng nhau)

c/

Xét tg cân AMN có AM=AN (1)

\(\Delta BME=\Delta CNF\left(cmt\right)\Rightarrow ME=NF\) (2)

Từ (1) và (2) => AM-ME=AN-NF => AE=AF

Xét tg vuông AEO và tg vuông AFO có

AE=AF (cmt)

AO chung

\(\Rightarrow\Delta AEO=\Delta AFO\) (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{OAF}\) => AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\)

d/

Ta có 

\(\widehat{HMN}=\widehat{HMA}-\widehat{AMN}=90^o-\widehat{AMN}\)

\(\widehat{HNM}=\widehat{HNA}-\widehat{ANM}=90^o-\widehat{ANM}\)

Mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{HNM}\Rightarrow\Delta HMN\) cân tại H 

Ta có

\(OE\perp AM;HM\perp AM\)=> OE//HM \(\Rightarrow\widehat{AOE}=\widehat{AHM}\) (góc đồng vị)

Chứng minh tương tự ta cũng có OF//HN \(\Rightarrow\widehat{AOF}=\widehat{AHN}\) (góc đồng vị)

Mà \(\Delta AEO=\Delta AFO\Rightarrow\widehat{AOE}=\widehat{AF}\)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{AHN}\)=> HO là phân giác của \(\widehat{MHN}\)

Xét tg cân HMN có

 HO là phân giác của \(\widehat{MHN}\)=> HO là đường  trung trực của tg HMN (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung trực) => \(HO\perp MN\) tại trung điểm của MN

Xét tg cân AMN có

AO là đường phân giác của \(\widehat{MAN}\) (cmt) => AO là đường trung trực của tg AMN (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung trực) => \(AO\perp MN\) tại trung điểm của MN

=> AO trung HO (Từ 1 điểm trên đường thẳng chỉ duy nhất dựng được 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

=> A; O; H thẳng hàng